Álgebra linear Exemplos

$\frac{7}{4} x - \frac{5}{2} y = 2$ , $\frac{1}{4} x + \frac{7}{2} y = 8$

Etapa 1

Encontre $A X = B$ do sistema de equações.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{4} & - \frac{5}{2} \\ \frac{1}{4} & \frac{7}{2} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 \\ 8 \end{array}]$

Etapa 2

Encontre o inverso da matriz do coeficiente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Etapa 2.2

Find the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\frac{7}{4} \cdot \frac{7}{2} - \frac{1}{4} (- \frac{5}{2})$

Etapa 2.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Multiplique $\frac{7}{4} \cdot \frac{7}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1.1

Multiplique $\frac{7}{4}$ por $\frac{7}{2}$ .

$\frac{7 \cdot 7}{4 \cdot 2} - \frac{1}{4} (- \frac{5}{2})$

Etapa 2.2.2.1.1.2

Multiplique $7$ por $7$ .

$\frac{49}{4 \cdot 2} - \frac{1}{4} (- \frac{5}{2})$

Etapa 2.2.2.1.1.3

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{49}{8} - \frac{1}{4} (- \frac{5}{2})$

Etapa 2.2.2.1.2

Multiplique $- \frac{1}{4} (- \frac{5}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{49}{8} + 1 (\frac{1}{4}) \frac{5}{2}$

Etapa 2.2.2.1.2.2

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$\frac{49}{8} + \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{2}$

Etapa 2.2.2.1.2.3

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{5}{2}$ .

$\frac{49}{8} + \frac{5}{4 \cdot 2}$

Etapa 2.2.2.1.2.4

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{49}{8} + \frac{5}{8}$

Etapa 2.2.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{49 + 5}{8}$

Etapa 2.2.2.3

Some $49$ e $5$ .

$\frac{54}{8}$

Etapa 2.2.2.4

Cancele o fator comum de $54$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.4.1

Fatore $2$ de $54$ .

$\frac{2 (27)}{8}$

Etapa 2.2.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.4.2.1

Fatore $2$ de $8$ .

$\frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.2.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.2.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{27}{4}$

Etapa 2.3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Etapa 2.4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{\frac{27}{4}} [\begin{array}{c} \frac{7}{2} & \frac{5}{2} \\ - \frac{1}{4} & \frac{7}{4} \end{array}]$

Etapa 2.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$1 (\frac{4}{27}) [\begin{array}{c} \frac{7}{2} & \frac{5}{2} \\ - \frac{1}{4} & \frac{7}{4} \end{array}]$

Etapa 2.6

Multiplique $\frac{4}{27}$ por $1$ .

$\frac{4}{27} [\begin{array}{c} \frac{7}{2} & \frac{5}{2} \\ - \frac{1}{4} & \frac{7}{4} \end{array}]$

Etapa 2.7

Multiplique $\frac{4}{27}$ por cada elemento da matriz.

$[\begin{array}{c} \frac{4}{27} \cdot \frac{7}{2} & \frac{4}{27} \cdot \frac{5}{2} \\ \frac{4}{27} (- \frac{1}{4}) & \frac{4}{27} \cdot \frac{7}{4} \end{array}]$

Etapa 2.8

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2 (2)}{27} \cdot \frac{7}{2} & \frac{4}{27} \cdot \frac{5}{2} \\ \frac{4}{27} (- \frac{1}{4}) & \frac{4}{27} \cdot \frac{7}{4} \end{array}]$

Etapa 2.8.1.2

Cancele o fator comum.

$[\begin{array}{c} \frac{2 \cdot 2}{27} \cdot \frac{7}{2} & \frac{4}{27} \cdot \frac{5}{2} \\ \frac{4}{27} (- \frac{1}{4}) & \frac{4}{27} \cdot \frac{7}{4} \end{array}]$

Etapa 2.8.1.3

Reescreva a expressão.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{27} \cdot 7 & \frac{4}{27} \cdot \frac{5}{2} \\ \frac{4}{27} (- \frac{1}{4}) & \frac{4}{27} \cdot \frac{7}{4} \end{array}]$

Etapa 2.8.2

Combine $\frac{2}{27}$ e $7$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2 \cdot 7}{27} & \frac{4}{27} \cdot \frac{5}{2} \\ \frac{4}{27} (- \frac{1}{4}) & \frac{4}{27} \cdot \frac{7}{4} \end{array}]$

Etapa 2.8.3

Multiplique $2$ por $7$ .

$[\begin{array}{c} \frac{14}{27} & \frac{4}{27} \cdot \frac{5}{2} \\ \frac{4}{27} (- \frac{1}{4}) & \frac{4}{27} \cdot \frac{7}{4} \end{array}]$

Etapa 2.8.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{14}{27} & \frac{2 (2)}{27} \cdot \frac{5}{2} \\ \frac{4}{27} (- \frac{1}{4}) & \frac{4}{27} \cdot \frac{7}{4} \end{array}]$

Etapa 2.8.4.2

Cancele o fator comum.

$[\begin{array}{c} \frac{14}{27} & \frac{2 \cdot 2}{27} \cdot \frac{5}{2} \\ \frac{4}{27} (- \frac{1}{4}) & \frac{4}{27} \cdot \frac{7}{4} \end{array}]$

Etapa 2.8.4.3

Reescreva a expressão.

$[\begin{array}{c} \frac{14}{27} & \frac{2}{27} \cdot 5 \\ \frac{4}{27} (- \frac{1}{4}) & \frac{4}{27} \cdot \frac{7}{4} \end{array}]$

Etapa 2.8.5

Combine $\frac{2}{27}$ e $5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{14}{27} & \frac{2 \cdot 5}{27} \\ \frac{4}{27} (- \frac{1}{4}) & \frac{4}{27} \cdot \frac{7}{4} \end{array}]$

Etapa 2.8.6

Multiplique $2$ por $5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{14}{27} & \frac{10}{27} \\ \frac{4}{27} (- \frac{1}{4}) & \frac{4}{27} \cdot \frac{7}{4} \end{array}]$

Etapa 2.8.7

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.7.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{4}$ para o numerador.

$[\begin{array}{c} \frac{14}{27} & \frac{10}{27} \\ \frac{4}{27} \cdot \frac{- 1}{4} & \frac{4}{27} \cdot \frac{7}{4} \end{array}]$

Etapa 2.8.7.2

Cancele o fator comum.

$[\begin{array}{c} \frac{14}{27} & \frac{10}{27} \\ \frac{4}{27} \cdot \frac{- 1}{4} & \frac{4}{27} \cdot \frac{7}{4} \end{array}]$

Etapa 2.8.7.3

Reescreva a expressão.

$[\begin{array}{c} \frac{14}{27} & \frac{10}{27} \\ \frac{1}{27} \cdot - 1 & \frac{4}{27} \cdot \frac{7}{4} \end{array}]$

Etapa 2.8.8

Combine $\frac{1}{27}$ e $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{14}{27} & \frac{10}{27} \\ \frac{- 1}{27} & \frac{4}{27} \cdot \frac{7}{4} \end{array}]$

Etapa 2.8.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$[\begin{array}{c} \frac{14}{27} & \frac{10}{27} \\ - \frac{1}{27} & \frac{4}{27} \cdot \frac{7}{4} \end{array}]$

Etapa 2.8.10

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.10.1

Cancele o fator comum.

$[\begin{array}{c} \frac{14}{27} & \frac{10}{27} \\ - \frac{1}{27} & \frac{4}{27} \cdot \frac{7}{4} \end{array}]$

Etapa 2.8.10.2

Reescreva a expressão.

$[\begin{array}{c} \frac{14}{27} & \frac{10}{27} \\ - \frac{1}{27} & \frac{1}{27} \cdot 7 \end{array}]$

Etapa 2.8.11

Combine $\frac{1}{27}$ e $7$ .

$[\begin{array}{c} \frac{14}{27} & \frac{10}{27} \\ - \frac{1}{27} & \frac{7}{27} \end{array}]$

Etapa 3

Multiplique pela esquerda os dois lados da equação da matriz pela matriz inversa.

$([\begin{array}{c} \frac{14}{27} & \frac{10}{27} \\ - \frac{1}{27} & \frac{7}{27} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} \frac{7}{4} & - \frac{5}{2} \\ \frac{1}{4} & \frac{7}{2} \end{array}]) \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{14}{27} & \frac{10}{27} \\ - \frac{1}{27} & \frac{7}{27} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 2 \\ 8 \end{array}]$

Etapa 4

Qualquer matriz multiplicada por seu inverso é sempre igual a $1$ . $A \cdot A^{- 1} = 1$ .

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{14}{27} & \frac{10}{27} \\ - \frac{1}{27} & \frac{7}{27} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 2 \\ 8 \end{array}]$

Etapa 5

Multiplique $[\begin{array}{c} \frac{14}{27} & \frac{10}{27} \\ - \frac{1}{27} & \frac{7}{27} \end{array}] [\begin{array}{c} 2 \\ 8 \end{array}]$ .

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Etapa 5.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $2 \times 2$ and the second matrix is $2 \times 1$ .

Etapa 5.2

Multiplique cada linha na primeira matriz por cada coluna na segunda matriz.

$[\begin{array}{c} \frac{14}{27} \cdot 2 + \frac{10}{27} \cdot 8 \\ - \frac{1}{27} \cdot 2 + \frac{7}{27} \cdot 8 \end{array}]$

Etapa 5.3

Simplifique cada elemento da matriz multiplicando todas as expressões.

$[\begin{array}{c} 4 \\ 2 \end{array}]$

Etapa 6

Simplifique os lados esquerdo e direito.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 4 \\ 2 \end{array}]$

Etapa 7

Encontre a solução.

$x = 4$

$y = 2$